Kiến thức cơ bản về phép chia đồng dư

Kiến thức cần nhớ

Phép chia đồng dư (congruence division) là một phép toán trong lý thuyết số, được sử dụng để xác định phần dư khi chia một số cho một số nguyên dương nào đó.

Giả sử chúng ta có hai số nguyên a và b (b không bằng 0) và một số nguyên dương n. Chúng ta nói “a chia đồng dư cho b theo modulo n” nếu phần dư khi a chia cho n bằng phần dư khi b chia cho n. Ký hiệu của phép chia đồng dư là a ≡ b (mod n).

Cách xác định phép chia đồng dư:

• Nếu a và b có cùng phần dư khi chia cho n, tức là a mod n = b mod n, thì chúng ta nói a ≡ b (mod n).
• Nếu a và b có khác phần dư khi chia cho n, tức là a mod n ≠ b mod n, thì chúng ta nói a không chia đồng dư cho b theo modulo n, và ký hiệu là a ≢ b (mod n).

Các tính chất của phép chia đồng dư:

1. Phép chia đồng dư là phép tương đương:
   • Nếu a ≡ b (mod n), thì b ≡ a (mod n).
   • Nếu a ≡ b (mod n) và b ≡ c (mod n), thì a ≡ c (mod n).
   • Nếu a ≡ b (mod n) và c ≡ d (mod n), thì a + c ≡ b + d (mod n) và a – c ≡ b – d (mod n).
   • Nếu a ≡ b (mod n) và c ≡ d (mod n), thì a × c ≡ b × d (mod n).
2. Phép chia đồng dư trên các bên của phương trình:
   • Nếu a ≡ b (mod n), thì a^k ≡ b^k (mod n) với bất kỳ số nguyên dương k.

Phép chia đồng dư có ứng dụng rộng trong lý thuyết số, mã hóa thông tin, và các lĩnh vực khác của khoa học máy tính. Nó cung cấp một cách để xác định các mẫu và quy tắc trong các chuỗi số.

Một số ví dụ trong Python

Ví dụ 1. Giả sử chúng ta muốn kiểm tra xem một số có chia hết cho 7 hay không bằng cách sử dụng phép chia đồng dư.

def kiem_tra_chia_het(so):
    if so % 7 == 0:
        print(f"Số {so} chia hết cho 7.")
    else:
        print(f"Số {so} không chia hết cho 7.")

# Kiểm tra số 21
kiem_tra_chia_het(21)

# Kiểm tra số 15
kiem_tra_chia_het(15)

Ví dụ 2. Kiểm tra tính chẵn lẻ của một số:

def kiem_tra_chan_le(number):
    if number % 2 == 0:
        print(f"Số {number} là số chẵn.")
    else:
        print(f"Số {number} là số lẻ.")

# Kiểm tra số 10
kiem_tra_chan_le(10)

# Kiểm tra số 7
kiem_tra_chan_le(7)

Ví dụ 3. Xác định ngày trong tuần:

def xac_dinh_ngay_trong_tuan(day):
    days_of_week = ["Thứ hai", "Thứ ba", "Thứ tư", "Thứ năm", "Thứ sáu", "Thứ bảy", "Chủ nhật"]
    day_index = day % 7
    print(f"Ngày {day} là {days_of_week[day_index]}.")

# Xác định ngày thứ 10
xac_dinh_ngay_trong_tuan(10)

# Xác định ngày thứ 20
xac_dinh_ngay_trong_tuan(20)

Ví dụ 4. Xác định năm nhuận:

def xac_dinh_nam_nhuan(year):
    if year % 4 == 0 and (year % 100 != 0 or year % 400 == 0):
        print(f"Năm {year} là năm nhuận.")
    else:
        print(f"Năm {year} không phải là năm nhuận.")

# Xác định năm 2020
xac_dinh_nam_nhuan(2020)

# Xác định năm 2022
xac_dinh_nam_nhuan(2022)

Trên đây là các kiến thức cơ bản và các ví dụ ban đầu giúp bạn hiểu thêm về phép chia đồng dư trong lập trình.